Geometric World
Trabajo de Geometría de la Tercera Evaluación de Matemáticas
ÍNDICE:
1. El triángulo
2. Lugares geométricos
3. Movimientos en el plano
4. Resumen de áreas y volumenes de figuras conocidas
5. La esfera y el globo terráqueo
6. Bibliografía
1. El triángulo
1.1 Propiedades y tipos de triángulos
Los triángulos son figuras geométricas, cuyas características son:
a) Un lado del triángulo es menor que la suma de los otros dos, y mayor que la diferencia de ambos.
b) Si sumamos los ángulos interiores de un triángulos, siempre obtendremos 180 grados.
(Ejemplo: 60º, 60º, 60º forman un triángulo equilátero)
c)El valor de un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
a1 = B+C
d)Cuanto a mayor lado se oponga un triángulo, mayor ángulo.
e)Los ángulos de dos lados iguales también son iguales.
Tipos de triángulos:
a) Según sus lados:
Equiláteros: tres lados iguales cuyos ángulos miden 60º.
Isósceles: dos lados iguales y uno desigual.
Escaleno: tres lados desiguales.
b)Según sus ángulos:
Rectángulo: contiene un ángulo de 90º que se encuentra enfrente de la hipotenusa.
Acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90º.
Obtusángulo: tiene un ángulo mayor a 90º.
1.2 Rectos y puntos notables en el triángulo
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Para representarlo gráficamente, hay que dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.
El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de éste. Por ello, para representarlo gráficamente, hay que dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma. Es, por lo tanto, el punto de intersección de las mediatrices del triángulo. Para representarlo gráficamente, hay que dibujar las tres mediatrices y localizar el punto de intersección de las mismas.
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo. Para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo, hay que dibujar las tres alturas y localizar el punto en el que se intersecan.
Acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90º.
Obtusángulo: tiene un ángulo mayor a 90º.
1.2 Rectos y puntos notables en el triángulo
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Para representarlo gráficamente, hay que dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.
El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de éste. Por ello, para representarlo gráficamente, hay que dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma. Es, por lo tanto, el punto de intersección de las mediatrices del triángulo. Para representarlo gráficamente, hay que dibujar las tres mediatrices y localizar el punto de intersección de las mismas.
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo. Para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo, hay que dibujar las tres alturas y localizar el punto en el que se intersecan.
1.3 El Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras afirma que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
3D
En las siguientes imágenes, vemos formas de representar la teoría del teorema de Pitágoras.
1.4 El teorema de Tales
Si sabemos la altura de un árbol y lo que mide su sombra, podemos calcular la altura de un edificio a partir de una regla de tres, aplicando el teorema de Tales.
A'/A = B'/B
2. Lugares geométricos
2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen distintas propiedades geométricas.
2.2 La mediatriz y la bisectriz.
El lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de otros dos puntos fijos es una recta o eje de simetría de dichos puntos. Si los dos son los extremos de un segmento, dicha recta es llamada mediatriz y es la recta que se interseca en su punto medio perpendicularmente.
La bisectriz es otro lugar geométrico. La bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo.
2.3 Las cónicas
Son todas las curvas de intersección entre un cono y un plano. Si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen cónicas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
La circunferencia se obtiene al cortar el cono con un plano de forma paralela a la base.
La elipse se obtiene al cortar el cono de forma secante a los lados de éste.
Lámpara hiperbólica
3. Movimientos en el plano
3.1 Las traslaciones. ¿Qué es un vector?
Es un segmento de recta, contando a partir de un punto del espacio, cuya longitud representa a escala una magnitud, en una dirección determinada y en uno de sus sentidos.
3.2 Ejercicios de vectores y translación
3.2.1 Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar:
a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas
b) los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo
c) las componentes de los vectores anteriores
d) el módulo de cada uno de los vectores
3.1 Las traslaciones. ¿Qué es un vector?
Es un segmento de recta, contando a partir de un punto del espacio, cuya longitud representa a escala una magnitud, en una dirección determinada y en uno de sus sentidos.
3.2 Ejercicios de vectores y translación3.2.1 Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar:
a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas
b) los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo
c) las componentes de los vectores anteriores
d) el módulo de cada uno de los vectores
3.4 Simetría. Ejercicios
3.4.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide: a) dibujar el triángulo b) hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0) c) hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX
3.4.2 Euclides (aproximadamente 300 a. C.) enunció las leyes de reflexión de la luz sobre un espejo plano. Herón de Alejandría, 400 años después, afirmó algo más sencillo: "La luz ha de tomar siempre el camino más corto". Sirviéndote de esta idea, halla en que punto del espejo se ha de reflejar un rayo de luz que parte del punto A para que después llegue a B.
3.4.3 Carlos y Fernando están jugando al billar. En un determinado momento las bolas se encuentran en las posiciones indicadas por el dibujo. Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda MQ golpee a la bola B.
Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda NP y PQ golpee a la bola B.
3.5 Frisos, mosaicos y cenefas
Un friso o cenefa es la aplicación de una traslación a una misma figura de manera sucesiva. Esta aplicación forman mosaicos, que se utilizan en la decoración de calles, suelos, azulejos...
Nació en 1898 en los Países Bajos. Se caracteriza por hacer grabados y obras cuyas formas son imposibles. Crea cuadros de color sepia y en blanco y negro, y juega con las formas engañando al cerebro humano. Sus obras más importantes son:
1. DROWING HANDS
2. RELATIVITY
3. DAY AND NIGHT
4. Áreas y volúmenes de figuras conocidas.
5. La esfera y el globo terráqueo
5.1 Elementos principales de la esfera.
Centro:Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
5.2 Elementos de la esfera terrestre.
Los paralelos son circunferencias perpendiculares al eje terrestre, con orientación este-oeste, que dependiendo de su ubicación tienen una extensión variable. El Ecuador o paralelo cero grados es el de mayor extensión, divide a la Tierra en dos hemisferios: el Septentrional y el Austral. A partir del Ecuador, se establecen 90º hasta el polo norte y 90 grados hasta el polo sur.
Los meridianos son semicircunferencias que comienzan y terminan en los polos. A finales del siglo XIX, se determinó que el meridiano cero grados es el que pasa por el observatorio astronómico de Greenwich, cerca de Londres, dividiendo el planeta en los hemisferios: Occidental y Oriental.
La latitud es la distancia de un lugar con relación al paralelo del Ecuador. El polo norte tiene una latitud de 90¼ norte, mientras el sur está en la latitud 90¼ sur.
La longitud es la distancia que separa un punto del globo del meridiano de Greenwich. Al igual que los meridianos, la longitud también se mide en grados, puede ser hasta de 180° este o 180° oeste.
5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial.
Los husos horarios son las veinticuatro áreas en que se divide la Tierra, siguiendo la misma definición de tiempo cronométrico. Se llaman así porque tienen forma de huso de hilar, y están centrados en meridianos de una longitud que sea un múltiplo de 15°. Antes, se usaba el tiempo solar aparente, con lo que la diferencia de hora entre una ciudad y otra era de unos pocos minutos en el caso de que las ciudades comparadas no se encontraran sobre un mismo meridiano. El empleo de los husos corrigió el problema parcialmente, al sincronizar los relojes de una región al mismo tiempo solar medio.
Todos los husos horarios se definen en relación con el denominado tiempo universal coordinado (UTC), huso horario centrado sobre el meridiano de Greenwich.
Puesto que la Tierra gira de oeste a este, al pasar de un huso horario a otro en dirección este hay que sumar una hora. Por el contrario, al pasar de este a oeste hay que restar una hora. El meridiano de 180°, conocido como línea internacional de cambio de fecha, marca el cambio de día.
