Probabilidad (Trabajo para subir nota)

1. Elabora un resumen sobre los conceptos básicos de la teoría de probabilidades

2. Realiza la simulación del lanzamiento de un dado utilizando alguna hoja de cálculo (Excel, Calc, etc.). Comprueba la Ley de Los Grandes Números para un número de tiradas muy grande.
AYUDA:
- Para generar el resultado de forma aleatoria puedes usar la función ALEATORIO.ENTRE
- Para hacer el recuento utiliza la función CONTAR.SI


3. Resuelve 5 problemas clásicos de cálculo de probabilidades utilizando la Regla de Laplace (dados, cartas, extracción de bolas de una bolsa, etc.) 1 Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:
a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
b) La primera bola no se devuelve.
2 Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de:
a) Sea roja.
b) Sea verde.
c) Sea amarilla.
d) No sea roja.
e) No sea amarilla.
3 Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:
a) Con reemplazamiento.
b) Sin reemplazamiento.

4 Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

5 En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:
a) Sea hombre.
b) Sea mujer morena.
c) Sea hombre o mujer.

6 Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:
a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.


7 Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
a) La probabilidad de que salga el 7.
b) La probabilidad de que el número obtenido sea par.
c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

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Trabajo de Geometría de la Tercera Evaluación de Matemáticas 

ÍNDICE:

1. El triángulo

2. Lugares geométricos

3. Movimientos en el plano

4. Resumen de áreas y volumenes de figuras conocidas

5. La esfera y el globo terráqueo

6. Bibliografía

1. El triángulo 

1.1 Propiedades y tipos de triángulos

Los triángulos son figuras geométricas, cuyas características son: 

a) Un lado del triángulo es menor que la suma de los otros dos, y mayor que la diferencia de ambos.

b) Si sumamos los ángulos interiores de un triángulos, siempre obtendremos 180 grados.

(Ejemplo: 60º, 60º, 60º forman un triángulo equilátero)

c)El valor de un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. 

a1 = B+C

d)Cuanto a mayor lado se oponga un triángulo, mayor ángulo.

e)Los ángulos de dos lados iguales también son iguales.

Tipos de triángulos:

a) Según sus lados: 

Equiláteros: tres lados iguales cuyos ángulos miden 60º.

Isósceles: dos lados iguales y uno desigual.

Escaleno: tres lados desiguales.

b)Según sus ángulos: 

Rectángulo: contiene un ángulo de 90º que se encuentra enfrente de la hipotenusa.
Acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90º.
Obtusángulo: tiene un ángulo mayor a 90º.

1.2 Rectos y puntos notables en el triángulo
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Para representarlo gráficamente, hay que dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas.

El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de éste.  Por ello, para representarlo gráficamente, hay que dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan. 


El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma. Es, por lo tanto, el punto de intersección de las mediatrices del triángulo. Para representarlo gráficamente, hay que dibujar las tres mediatrices y localizar el punto de intersección de las mismas.

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo. Para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo, hay que dibujar las tres alturas y localizar el punto en el que se intersecan. 

1.3 El Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras afirma que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. 

3D
En las siguientes imágenes, vemos formas de representar la teoría del teorema de Pitágoras.





1.4 El teorema de Tales
Si sabemos la altura de un árbol y lo que mide su sombra, podemos calcular la altura de un edificio a partir de una regla de tres, aplicando el teorema de Tales.
                                           A'/A = B'/B

2. Lugares geométricos

2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen distintas propiedades geométricas.

2.2 La mediatriz y la bisectriz.

El lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de otros dos puntos fijos es una recta o eje de simetría de dichos puntos. Si los dos son los extremos de un segmento, dicha recta es llamada mediatriz y es la recta que se interseca  en su punto medio perpendicularmente.

La bisectriz es otro lugar geométrico. La bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo.

2.3 Las cónicas

Son todas las curvas de intersección entre un cono y un plano. Si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen cónicas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

La circunferencia se obtiene al cortar el cono con un plano de forma paralela a la base.

La elipse se obtiene al cortar el cono de forma secante a los lados de éste.

Lámpara hiperbólica

3. Movimientos en el plano
3.1 Las traslaciones. ¿Qué es un vector?
Es un segmento de recta, contando a partir de un punto del espacio, cuya longitud representa a escala una magnitud, en una dirección determinada y en uno de sus sentidos.

3.2 Ejercicios de vectores y translación
3.2.1 Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar:
a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas
b) los vectores u + v  y u - v por la regla del paralelogramo
c) las componentes de los vectores anteriores
d) el módulo de cada uno de los vectores  

3.2.2 Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u(4,3):
                                     

                                     

                                      

                                       
3.4 Simetría. Ejercicios
3.4.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide: a) dibujar el triángulo b) hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0) c) hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX

3.4.2 Euclides (aproximadamente 300 a. C.) enunció las leyes de reflexión de la luz sobre un espejo plano. Herón de Alejandría, 400 años después, afirmó algo más sencillo: "La luz ha de tomar siempre el camino más corto". Sirviéndote de esta idea, halla en que punto del espejo se ha de reflejar un rayo de luz que parte del punto A para que después llegue a B.
 
3.4.3 Carlos y Fernando están jugando al billar. En un determinado momento las bolas se encuentran en las posiciones indicadas por el dibujo. Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda MQ golpee a la bola B.

Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda NP y PQ golpee a la bola B.


3.5 Frisos, mosaicos y cenefas 
Un friso o cenefa es la aplicación de una traslación a una misma figura de manera sucesiva. Esta aplicación forman mosaicos, que se utilizan en la decoración de calles, suelos, azulejos...

3.6 MC. Escher
Nació en 1898 en los Países Bajos. Se caracteriza por hacer grabados y obras cuyas formas son imposibles. Crea cuadros de color sepia y en blanco y negro, y juega con las formas engañando al cerebro humano. Sus obras más importantes son:
1. DROWING HANDS
                                     
2. RELATIVITY
                                     
3. DAY AND NIGHT
                                     
4. Áreas y volúmenes de figuras conocidas.



5. La esfera y el globo terráqueo 
5.1 Elementos principales de la esfera. 
Centro:Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

5.2 Elementos de la esfera terrestre. 
Los paralelos son circunferencias perpendiculares al eje terrestre, con orientación este-oeste, que dependiendo de su ubicación tienen una extensión variable. El Ecuador o paralelo cero grados es el de mayor extensión, divide a la Tierra en dos hemisferios: el Septentrional y el Austral. A partir del Ecuador, se establecen 90º hasta el polo norte y 90 grados hasta el polo sur.

Los meridianos son semicircunferencias que comienzan y terminan en los polos. A finales del siglo XIX, se determinó que el meridiano cero grados es el que pasa por el observatorio astronómico de Greenwich, cerca de Londres, dividiendo el planeta en los hemisferios: Occidental y Oriental.
La latitud es la distancia de un lugar con relación al paralelo del Ecuador. El polo norte tiene una latitud de 90¼ norte, mientras el sur está en la latitud 90¼ sur.

La longitud es la distancia que separa un punto del globo del meridiano de Greenwich. Al igual que los meridianos, la longitud también se mide en grados, puede ser hasta de 180° este o 180° oeste.
                                      
5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial. 
Los husos horarios son las veinticuatro áreas en que se divide la Tierra, siguiendo la misma definición de tiempo cronométrico. Se llaman así porque tienen forma de huso de hilar, y están centrados en meridianos de una longitud que sea un múltiplo de 15°. Antes, se usaba el tiempo solar aparente, con lo que la diferencia de hora entre una ciudad y otra era de unos pocos minutos en el caso de que las ciudades comparadas no se encontraran sobre un mismo meridiano. El empleo de los husos corrigió el problema parcialmente, al sincronizar los relojes de una región al mismo tiempo solar medio.
Todos los husos horarios se definen en relación con el denominado tiempo universal coordinado (UTC), huso horario centrado sobre el meridiano de Greenwich.

Puesto que la Tierra gira de oeste a este, al pasar de un huso horario a otro en dirección este hay que sumar una hora. Por el contrario, al pasar de este a oeste hay que restar una hora. El meridiano de 180°, conocido como línea internacional de cambio de fecha, marca el cambio de día.

5.4 El método de Eratóstenes para calcular el diámetro de la circunferencia terrestre

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TRABAJO DE MATEMÁTICAS: FUNCIONES

1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo?

La propiedad que mide la pesadez de una sustancia es la densidad. Cuanto mayor sea, más pesado parecerá. La densidad es la masa de un cuerpo entre el volumen que ocupa. Aunque toda la materia posee masa y volumen, la misma masa de sustancias diferentes ocupan distintos volúmenes, así notamos que el hierro es pesado y el plástico es ligero. 

2. ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc. 

En matemáticas, una función (f) es una relación entre un conjunto X (llamado dominio) y un conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x le corresponde un único elemento f(x) del codominio.

Las relaciones entre magnitudes se pueden expresar mediante: 

1) Lenguaje castellano: ¿Cómo varía la magnitud A con respecto a la magnitud B?

¿Cómo dependen los valores que toma la magnitud A de los que toma la magnitud B?

2) Tablas: 

3) Gráficas:

4) Ecuaciones: 

Cuando la relación entre magnitudes se expresa por fórmulas siempre se expresa así: 

Variable dependiente = f (Variable independiente)

¿Ejemplos? La duración de una vela, la altura de una persona a lo largo de su vida

3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder.

La tasa de variación de una función es la diferencia entre las ordenadas que corresponden a los puntos de abscisas a y a+h.

Funciones crecientes: Son aquellas que aumentan a lo largo del eje x. 

Funciones decrecientes: Son aquellas que ,a lo largo del eje x, van teniendo valores más bajos.

4. Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias máximos y mínimos absolutos y relativos.

Máximo relativo: Segundo valor de y más alto

Mínimo relativo: Segundo valor de y más bajo

Máximo absoluto: Valor de y más alto

Mínimo absoluto: Valor de y más bajo

5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría. 

Existen dos tipos de simetría. Las funciones pares son simétricas respecto al eje de ordenadas. En cambio, las funciones impares son simétricas respecto al origen de coordenadas.

 x^3 

x^2

6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esta forma.

Una función periódica es aquella cuyo modelo y dominio se repite de forma consecutiva.

7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?

Una función continua es un valor de la variable independiente cuyas imágenes se aproximan a la imagen, es decir, se pueden unir con una recta. En cambio, las imágenes de las funciones discontinuas no son próximas a la imagen, hay un espacio.

Función discontinua: Electrocardiograma

Función continua: ¡El logo de Movistar!¿Por qué no?

8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?

El término función se usó por primera vez en 1637, cuando el matemático René Descartes estaba designando una potencia xn de la variable x. Décadas después, el alemán Wilhelm usó el término para referirse a los aspectos de una curva y su pendiente.

En cambio, la definición actual de función se debe al matemático alemán Lejeune-Dirichlet, quien escribió: Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.

2ª PARTE: ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Para realizar las actividades propuestas en esta parte puedes utilizar alguno de los programas que te recomiendo: Fooplot, Symbolab, Geogebra, Funciones para Windows, Derive, etc.

9. Representa gráficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas.

a)Función lineal creciente

b)Función lineal constante

c)Función lineal decreciente

d)Rectas paralelas

e)Función cuadrática cóncava

f)Función cuadrática convexa

g)Investiga sobre la representación gráfica de otras funciones: Cosenos

10. Investiga sobre la representación de funciones en coordenadas polares.

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto que forma parte del plano es determinado por un ángulo y una distancia. Se toma un punto O del plano, el origen o el polo, y una recta dirigida (o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano) como referente. Todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r se conoce como la coordenada radial y el ángulo es la coordenada angular. El origen, O, tiene de valor cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por 0,0º.

11. Utilizando uno de los programas anteriores investiga sobre la representación gráfica de funciones en el espacio (x,y,z)
Las relaciones entre tres variables vienen dadas a través de una ecuación o función. Para representar las variables gráficamente, se estudiará el espacio tridimensional R3 y la representación de ecuaciones de este espacio.
Mediante el sistema de coordenadas tridimensional y el producto cartesiano R3 , podremos representar superficies, ecuaciones en dos y tres variables, esferas, curvas de nivel y trazas, entre otras.

12.Utiliza el programa que has elegido para resolver gráficamente el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siguiente: 

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